Rangkaian Peralihan

PENDAHULUAN

            Bila suatu rangkaian dialihkan dari satu keadaan ke keadaan yang lain akan menyebab perubahan tegangan sumber atau tegangan pada satu elemen rangkaian, akan ada periode transisi selama arus cabang dan jatuh tegangan berubah dari suatu nilai awal ke satu nilai baru. Setelah selang transisi ini yang disebut peralihan (transient), rangkaian akan dikatakan berada pada keadaan mantap (steady state).

Dengan menerapkan hukum tegangan Kirchhoff pada suatu rangkaian yang mengandung elemen penyimpan energi akan menghasilkan persamaan difrensial yang mana akan diselesaikan oleh suatu metode dari beberapa metode yang tersedia. Solusi ini terdiri dari dua bagian yaitu solusi homogen dan solusi khusus. Untuk persamaan dalam analisa rangkaian fungsi homogen selalu menuju nol dalam waktu yang relatif singkat dan disebut solusi dari bagian peralihan. Solusi khusus pada jawaban keadaan mantap sudah dipelajari pada bab sebelumnya. Oleh metode dengan mana solusi khusus akan diperoleh dalam bab ini umumnya lama dan tidak terganggu dan tak perna selangsung seperti metode yang digunakan sebelumnya. Bagaimanapun melalui penerapan metode ini kita memperoleh arti fisis jawaban keadaan mantap sebagai bagian lengkap dari jawaban.

RANGKAIAN PERALIHAN DC

RL Peralihan

            Rangkaian RL seri sebagaimana terlihat pada gambar 1. berikut dihubung pada sumber tegangan konstan V ketika saklar tertutup. Hukum tegangan Kirchhoff menyebabkan  adanya persamaan diffrensial berikut.

Gambar 1. Rangkaian Seri RL

                                   

                  Ri + L = V                                                                                                         1                     

Susun kembali persamaan di atas dan gunakan notasi operator dimana D = d / dt

                                                                                                                                     2

Persamaan (2) adalah jenis persamaan difrensial linear orde 1

             atau (D – a)y = R                                                                                               3

Dimana D =, a adalah konstanta, dan R bisa berupa fungsi x tetapi bukan fungsi y, solusi umum persamaan (3), terdiri dari solusi homogen dan solusi khusus, yaitu

                        Y = y_h + y_k = ce^ax + e^ax                                                                      4

Dimana c adalah suatu konstanta yang dibatasi oleh kondisi awal. Oleh persamaan (4) solusi dari persamaan (2) adalah

i(t) =

i _(t) =                                                                                                                          5

untuk menentukan konstanta c kita atur t = 0 dalam persamaan 5 dan subsitusi arus pada keadaan awal i_o untuk i. Disini arus awal sama dengan arus sesaat ketika saklar baru ditutup. Pada induktansi hubungan antara arus dan tegangan v = L dan i = . Pernyataan kedua menjamin bahwa apapun tegangan sumber, arus yang melalui induktor harus fungsi kontinyu. Kemudian jika arus sama dengan nol pada saat t = 0- , ia juga harus berada pada nol pada saat t = 0+. Subsitusi pada persamaan 5 kita memperoleh

0  =         

            i_o = 0 = c(1) + V/R atau c = -V/R                                                                                 6

Masukkan nilai c ini pada persamaan 5 hasilnya menjadi

                                                                               7

Jenis persamaan ini akan dikenal sebagai eksponensial naik, sebagaimana diperlihatkan pada gambar 2 berikut

Gambar 2. Arus sebagai fungsi waktu

Pada gambar diperlihatkan selama periode peralihan dimana arus mulai dari nilai awal nol sampai nilai akhir V/R, keadaan mantap.

Konstanta waktu TC suatu fungsi seperti persamaan 7 adalah waktu pada mana eksponen e sama dengan satu. Karena untuk RL peralihan konstanta waktu TC = L/R detik. Pada saat TC = 1 jumlah dalam kurung pada persamaan 7 mempunyai nilai (1 – e^-1) = (1 – 0,368) = 0,632. Diwaktu ini arus sama dengan 63,2% dari nilai awalnya.

Sebagai contoh yang lain eksponensial menurun diperlihatkan pada Gambar 3 dengan persamaan berikut.

            f(t) = Ae^-at                                                                                                         8

Gambar 3. Fungsi eksponensial menurun

Konstanta waktu ketika waktu eksponensial e sama dengan satu, yaitu ketika TC =1/a, Nilai pada saat TC = 1 adalah e^-1 = 0,368 dan fungsi sudah menurun 36,8% dari nilai A.

Tegangan peralihan pada elemen rangkaian RL akan diperoleh dari arus.  Sesuai tegangan pada resistor adalah

v_R = Ri = V(1 – e^-(R/L)t)                                                                                                             9

dan tegangan pada induktansi adalah

                        v_L = L                                                  10                                                                    

Tegangan peralihan resistor adalah eksponen menaik dengan konstanta waktu yang sama dengan arus, sementara tegangan pada induktansi adalah eksponensial menurun tetapi dengan konstanta waktu yang sama. Jumlah v_R dan v_L tetap memenuhi hukum Kirchhoff sepanjang periode peralihan. Lihat gambar 4 berikut.

Gambar 4. Grafik tegangan v_R dan v_L sebagai fungsi waktu

Jika tegangan pada rangkaian dijumlahkan maka akan didapatkan sama dengan tegangan sumber

v_R + v_L = V(1 – e^-(R/L)t) + Ve^-(R/L)t = V                                                                           11

       Daya  sesaat dalam suatu elemen rangkaian akan diberikan oleh perkalian tegangan dan arus. Karena itu daya pada resistor adalah:

            p_R = v_R . i  = V(1 – e^-(R/L)t) =

dan daya di dalam induktansi adalah

       p_L = v_L.i = Ve^-(R/L)t(=

kemudian daya total adalah

p_T = p_R + p_L = +

            =  watt

       Ketiga fungsi daya akan diperlihatkan pada Gambar 5 dimana p_R dan p_T mempunyai nilai keadaan mantap V²/R atau I².R dimana I adalah arus keadaan mantap. Daya sesaat dalam induktansi mempunyai nilai awal dan akhir nol dan adalah daya yang bertanggung jawab (accounts) untuk energi tersimpan di dalam belitan dalam bentuk medan magnit. Disini kita memperlihatkan pL dari nol samapai tak terhingga

Gambar 5. Grafi daya sesaat sebagai fungsi waktu 

Rangkaian RL yang diperlihatkan pada Gambar 6. Mengandung suatu arus awal i_o = V / R. Pada t = 0 saklar dipindahkan pada posisi 2 yang mana berpindah dari sumber dan pada waktu yang sama ditempatkan rangkaian hubung singkat melintang pada rangkaian cabang RL.

Gambar 6. Rangakaian RL seri

Dengan menerapkan hukum tegangan Kirchhoff ke rangkaian sumber bebas  menghasilakan persamaan

            L + Ri = 0 atau  (D +                                                                             

            Yang mana solusinya adalah

                        i =

       pada saat t = 0 saklar dipindah pada posisi 2 arus i yang mengalir dalam rangkaian  i₍₀₎ = V/R masukkan nilai i(0) pada persamaan i(0) = ce^-(R/L)t, maka didapatkan c = V/R.

       Persamaan umum arus yang mengalir dalam rangkaian pada saat saklar pinda pada posisi 2

                                                 i_(t) =

       Penurunan fungsi eksponensial akan diperlihatkan pada gambar 7.a berikut. Hubungan jatuh tegangan pada resistansi dan induktansi adalah:

            v_R = R.i = V.  dan v_L = L = -V.

       sebagaimana diperlihatkan pada gambar 7.b. brikut. Jumlah v_R + v_L memenuhi hukum Kirchhoff jika tegangan sumber = 0 yang mana saklar dipindah pada posisi 2. Daya sesaat p_R = dan p_L = -akan diperlihatkan pada gambar 7.c berikut.

Gambar 7.

Jika daya p_L berintegrasi dari nol ke tak terhingga kita menemukan bahwa sesungguhnya membuang energi yang disimpan dalam medan magnit selama peralihan sebelumnya, 1/2LP. Selama peralihan menurun energi ini akan dipindahkan ke resistor.

RANGKAIAN PERALIHAN RC SERI          

            Dengan menerapkan hukum tegangan Kirchhoff pada rangkaian seri RC yang diperlihatkan pada gambar 8 menghasilkan persamaan difrensial berikut.

Gambar 8. Rangkaian RC seri

Pada saat saklar S ditutup menurut hukum tegangan Kirchhoff persamaan tegangan pada rangkaian di atas adalah:

                                                                                                          12

Dan sesudah didiffrensialkan

             atau (D +)i = 0                                                                               13

Solusi pada persamaan homogen ini hanya terdiri dari fungsi komplementer sehingga solusi khusus sama dengan nol. Karena itu

                        i = c                                                                                                       14

Untuk menentukan konstanta c kita catat bahwa persamaan (12) saat t = 0 maka R i_o= V atau i_o = V/R.  Sekarang subsitusi nilai i_o ke dalam persamaan (14), kita memperoleh c = V/R di t = 0. Kemudian

                        i_(t)=                                                                                                     15

Persamaan (15) mempunyai bentuk eksponensial menurun seperti terlihat pada Gambar 6.a berikut.

Hubungan tegangan peralihan akan diperlihatkan pada Gambar 6.b berikut.

                        V_R = Ri =V dan

Gambar 9. Arus dan tegangan sebagai fungsi waktu

Daya sesaat 

p_R = v_R.i = V. =  dan p_C = v_C.i =               25

            p_t(t) = + =

diperlihatkan pada Gambar 10.

Gambar 10. Daya sesaat

Daya peralihan p_C, dengan nilai awal dan akhir nol, menjamin untuk energi yang tersimpan di kapasitor dalam bentuk medan listrik dengan tegangan V yang konstan. Pengintegrasian p_R mulai dari nol sampai tak terhingga.

            e

RC PERALIHAN BERBASIS MUATAN

            Pada rangkaian seri RC kadang-kadang dibuat dalam persamaan peralihan muatan q. Kemudian, jika arus dan muatan akan dikaitkan oleh i =, arus, jika dibutuhkan, boleh diperoleh dari persamaan diferensial.

            Pada Gambar 10. Kapasitor akan dimuati dengan polaritas seperti piringan terlihat, karena q mempunyai arah sama seperti arus i pada gamabar 8 di atas.

Gambar 10. Rangkaian seri RC

Persamaan berbasis arus

           

Akan dituliskan atas basis muatan dengan mensubsitusi dq/dt untuk i. Karena itu

            atau

Gunakan metode yang sama seperti persamaan 7, solusi muatan q adalah

            q(t) = ce^-t/RC + CV

pada saat t = 0, muatan awal kapasitor adalah q_o = 0 dan

            q₍₀₎ = ce^-0/RC + CV

            0 = c + CV atau c = - CV

Subsitusi nilai c pada persamaan di atas, kita akan memperoleh

            q(t) = CV(1 – e^-t/RC)

muatan peralihan q adalah eksponensial naik menuju nilai akhir CV.

Untuk fungsi muatan menaik dan menurun seperti diperlihatkan pada gambar 10.a dan kaitannya dengan fungsi arus dalam gambar 11.b. Karena muatan harus berada pada fungsi kontinyu, q = CV di t’ (-) dan t’(+) sementara i di t’(-) sama dengan nol dan di t’(+) mempunyai nilai –V/R 

Gambar 11.

 

RLC PERALIHAN

            Dengan menerapkan hukum Tegangan Kirchhoff pada rangkaian RLC seri Gambar 12. Menghasilkan persamaan integral-diffrensial berikut.

            Ri + L+

Gambar 12. Rangkaian RLC seri

Didiffrensialkan , kita akan peroleh

            L+ R+ atau (D² +                                           (a)

Ini persamaan diffrensial linier orde dua jenis homogen dengan solusi khusus sama dengan nol. Fungsi homogen akan berada diantara satu dari tiga jenis berbeda tergangtung atas besar relatif R, L, dan C. Koefisien pada karakteristik persamaan  (D² + adalah konstan dan akar-akar persamaannya adalah:

            D₁ =  D₂ =

Biarkan a = -R/2L dan b  =

            D₁ = a + b dan D₂ = a - b

Akar b bisa positif, nol atau negatif dan solusinya akan kemudian teredam lebih, teredam kritis atau kurang teredam (bersifat osilasi)

Kasus 1. (R/2L)² > 1/LC. Akar-akar D₁ dan D₂ adalah real dan tidak sama termasuk kasus teredam lebih. Kemudian bentuk faktor persamaan (a) akan dituliskan

            [(D – (a + b)][D – (a - b)]i = 0

Dan arus i sama dengan

            i = c₁e^{(a + b)t} + c₂e^{(a - b)t} atau i = e^at (c₁e^bt + c₂e^{- bt})

Kasus 2. (R/2L)² = 1/LC Akar-akar D₁ dan D₂ adalah sama dan solusinya termasuk kasus teredam kritis. Kemudian bentuk faktor persamaan (a) akan dituliskan

            (D - a)(D - a)i = 0

Solusinya adalah

            i = e^at (c₁ + c₂e^{- bt})

Kasus 3. (R/2L)² < 1/LC. Akar-akar D₁ dan D₂ adalah kompleks dan solusinya adalah kasus kurang teredam atau bersifat osilasi. Ditentukan b = dan a sama seperti sebelumnya, bentuk faktor persamaan operator (a) akan dituliskan

            [(D – (a + jb)][D – (a - jb)]i = 0

Dan arus i samadengan

            i = e^at(c₁cosbt +c₂sinbt)

arus pada semua kasus mengandung faktor e^at dan jika a = - R/2L nilai akhir sama dengan nol, dijamin fungsi komplemeter menurun dalam waktu yang relatif singkat. Ketiga kasus akan digambarkan seperti pada Gambar 13. Berikut bila nilai awal sama dengan nol dan kemiringan akan positif.